Significado da diferença entre os meios
Depois de ler este artigo, você aprenderá sobre o significado da diferença entre as médias.
Suponha que desejamos testar se meninos de 12 anos e meninas de 12 anos de escolas públicas diferem em habilidade mecânica. Como as populações desses meninos e meninas são muito grandes, pegamos uma amostra aleatória desses meninos e meninas, administramos um teste e computamos os meios de meninos e meninas separadamente.
Suponha que a pontuação média desses meninos seja 50 e que a das meninas seja 45. Marcamos uma diferença de 5 pontos entre as médias de meninos e meninas. Pode ser um fato que tal diferença poderia ter surgido devido a flutuações de amostragem.
Se desenharmos duas outras amostras, uma da população de meninos de 12 anos e outra da população de meninas de 12 anos, encontraremos alguma diferença entre as médias se continuarmos a repeti-las por um grande número de vezes no desenho de amostras de Meninos de 12 anos e meninas de 12 anos descobrirão que a diferença entre dois conjuntos de médias variará.
Às vezes, essa diferença será positiva, às vezes negativa e, às vezes, zero. A distribuição dessas diferenças formará uma distribuição normal em torno de uma diferença de zero. O SD dessa distribuição é chamado de erro padrão de diferença entre médias.
Para isso, os seguintes símbolos são usados:
SEM 1 - M 2 ou SE D ou σ DM
Duas situações surgem com relação às diferenças entre a média:
(a) Aqueles cujos meios são não correlacionados / independentes, e
(b) Aqueles em que os meios estão correlacionados.
a) SE da diferença entre dois meios independentes:
Os meios são não correlacionados ou independentes quando calculados a partir de amostras diferentes ou de testes não correlacionados administrados à mesma amostra.
Nesse caso, duas situações podem surgir:
(i) Quando as médias são não correlacionadas ou independentes e as amostras são grandes, e
(ii) Quando as médias são não correlacionadas ou independentes e as amostras são pequenas.
(i) SE da diferença (SE D ) quando as médias são não correlacionadas ou independentes e as amostras são grandes:
Nesta situação, o SE D pode ser calculado usando a fórmula:
em que SE D = erro padrão da diferença de médias
SEm 1 = Erro padrão da média da primeira amostra
SEm 2 = Erro padrão da média da segunda amostra
Exemplo 1:
Dois grupos, um composto de 114 homens e outro de 175 mulheres. Os escores médios de homens e mulheres em um teste de construção de palavras foram de 19, 7 e 21, 0, respectivamente, e SD desses dois grupos são 6, 08 e 4, 89, respectivamente. Teste se a diferença observada de 1, 3 a favor das mulheres é significativa a 0, 05 e ao nível de 0, 01.
Solução:
É um teste bicaudal → Como a direção não está clara.
Para testar a significância de uma diferença obtida entre duas médias de amostra, podemos seguir as seguintes etapas:
Passo 1:
Na primeira etapa, temos que ser claros se vamos fazer um teste bicaudal ou um teste unicaudal. Aqui queremos testar se a diferença é significativa. Então é um teste bicaudal.
Passo 2:
Estabelecemos uma hipótese nula (H 0 ) de que não há diferença entre as médias populacionais de homens e mulheres na construção de palavras. Assumimos que a diferença entre as médias populacionais de dois grupos seja zero, ou seja, H o : D = 0.
Etapa 3:
Então temos que decidir o nível de significância do teste. Em nosso exemplo, devemos testar a diferença em 0, 05 e 0, 01 nível de significância.
Passo 4:
Nesta etapa, temos que calcular o erro padrão da diferença entre médias, ou seja, SE D.
Como nosso exemplo é meio não correlacionado e amostras grandes, temos que aplicar a seguinte fórmula para calcular SE D :
Passo 5:
Depois de calcular o valor de SE D, temos que expressar a diferença das médias das amostras em termos de SE D. Como nosso exemplo é uma facilidade de amostras grandes, teremos que calcular Z onde,
Passo 6:
Com referência à natureza do teste em nosso exemplo, devemos descobrir o valor crítico para Z da Tabela A, tanto em 0, 05 quanto em 0, 01 nível de significância.
Da Tabela A, Z.05 = 1, 96 e Z.01 = 2, 58. (Isso significa que o valor de Z para ser significativo no nível de 0, 05 ou menos deve ser de 1, 96 ou mais).
Agora 1, 91 <1, 96, a diferença marcada não é significativa no nível 0, 05 (ou seja, H 0 é aceito).
Interpretação:
Como a amostra é grande, podemos assumir uma distribuição normal de Z's. O Z obtido simplesmente não alcança o nível de significância de 0, 05, que para grandes amostras é de 1, 96.
Consequentemente, não rejeitaríamos a hipótese nula e diríamos que a diferença obtida não é significativa. Pode haver alguma diferença, mas não temos garantia suficiente disso.
Uma conclusão mais prática seria a de que não temos provas suficientes de qualquer diferença sexual na capacidade de construir palavras, pelo menos no tipo de população amostrada.
Exemplo 2:
Os dados sobre o desempenho de meninos e meninas são dados como:
Teste se os meninos ou meninas têm um desempenho melhor e se a diferença de 1, 0 a favor dos meninos é significativa no nível de 0, 05. Se aceitarmos que a diferença seja significativa, qual seria o erro do tipo 1.
Solução:
1, 85 <1, 96 (Z 0, 05 = 1, 96). Portanto, H 0 é aceito e a diferença marcante de 1, 0 a favor dos meninos não é significativa no nível 0, 05.
Se aceitarmos que a diferença seja significativa, confirmamos o erro do tipo 1. Ao ler a Tabela A, descobrimos que ± 1, 85 Z inclui 93, 56% dos casos. Assim, aceitando a diferença marcada para ser significativo, estamos 6, 44% (100 - 93, 56) errado, então o erro Tipo 1 é 0644.
Exemplo 3:
A classe A foi ensinada em uma unidade de treinamento intensivo, enquanto na classe B, em aulas normais. No final de um ano letivo, as classes A e B apresentavam uma média de 48 e 43 com SD 6 e 7, 40 respectivamente.
Teste se o coaching intensivo obteve um ganho no escore médio para a Classe A. A Classe A constitui 60 e os alunos da Classe B 80.
. . . 4, 42 é mais do que Z.01 ou 2, 33. Então H o é rejeitado. A diferença marcada é significativa no nível 0, 01.
Portanto, concluímos que o treinamento intensivo obteve boas notas médias da Classe A.
(ii) O SE da diferença (SE D ) quando as médias são não correlacionadas ou independentes e as amostras são pequenas:
Quando os N's de duas amostras independentes são pequenos, o SE da diferença de dois meios pode ser calculado usando as seguintes duas fórmulas:
Quando as pontuações são dadas:
em que x 1 = X 1 - M 1 (ou seja, desvio dos escores da primeira amostra da média da primeira amostra).
X 2 = X 2 - M 2 (ou seja, desvio dos escores da segunda amostra de sua média)
Quando os meios e SD de ambas as amostras são dadas:
Exemplo 4:
Um Teste de Interesse é administrado a 6 meninos em uma classe de Treinamento Vocacional e a 10 meninos em uma aula de latim. A diferença média entre os dois grupos é significativa no nível 0, 05?
Tabela entrando:
D nós achamos que com df = 14 o valor crítico de t no nível de .05 é de 2, 14 e no nível de 0, 01 é de 2, 98. O valor calculado de 1, 78 é inferior a 2, 14 ao nível de significância de 0, 05.
Por isso, H 0 é aceite. Concluímos que não há diferença significativa entre os escores médios do teste de interesse de dois grupos de meninos.
Exemplo 5:
Um inventário de personalidade é administrado em uma escola particular a 8 meninos cujos registros de conduta são exemplares, e a 5 meninos cujos registros são muito ruins.
Os dados são dados abaixo:
A diferença entre o grupo significa significante no nível 0, 05? no nível 01?
Entrando na Tabela D vemos que com df 11 o valor crítico de t no nível de 0, 05 é de 2, 20 e no nível de 0, 01 é de 3, 11. O valor calculado de 2, 28 é apenas maior que 2, 20, mas menor que 3, 11.
Concluímos que a diferença entre as médias dos grupos é significativa no nível 0, 05, mas não é significativa no nível 0, 01.
Exemplo 6:
Em um teste de raciocínio aritmético, 11 meninos de dez anos e 6 meninas de dez anos fizeram as seguintes pontuações:
A diferença média de 2, 50 é significativa no nível 0, 05?
Solução:
Aplicando a fórmula (43 b).
Entrando na Tabela D, descobrimos que com df 15, o valor crítico de t a 0, 05 é 2, 13. O valor obtido de 1, 01 é menor que 2, 13. Portanto, a diferença marcada de 2, 50 não é significativa no nível 0, 05.
(b) SE da diferença entre duas médias correlacionadas:
(i) O método de grupo único:
Já lidamos com o problema de determinar se a diferença entre dois meios independentes é significativa.
Agora estamos preocupados com o significado da diferença entre meios correlacionados. Meios correlacionados são obtidos a partir do mesmo teste administrado ao mesmo grupo em duas ocasiões.
Suponha que tenhamos administrado um teste a um grupo de crianças e depois de duas semanas devemos repetir o teste. Queremos medir o efeito da prática ou do treinamento especial no segundo conjunto de pontuações. A fim de determinar a significância da diferença entre as médias obtidas nos testes inicial e final.
Nós devemos usar a fórmula:
em que σ M1 e σ M2 = SE dos meios de teste inicial e final
r 12 = Coeficiente de correlação entre os escores feitos nos testes inicial e final.
Exemplo 7:
No início do ano letivo, a pontuação média de 81 alunos em um teste de desempenho educacional em leitura foi de 35 com um SD de 5.
No final da sessão, a pontuação média em uma forma equivalente do mesmo teste foi de 38 com um SD de 4. A correlação entre os escores feitos no teste inicial e final foi de 0, 53. A turma fez progressos significativos na leitura durante o ano?
Podemos tabular nossos dados da seguinte forma:
(Teste com nível de significância de 0, 01)
Solução:
Já que estamos preocupados apenas com progresso ou ganho, este é um teste unilateral.
Ao aplicar a fórmula:
Como existem 81 alunos, existem 81 pares de pontuações e 81 diferenças, de modo que o df se torna 81 - 1 ou 80. Na Tabela D, o t para 80 df é de 2, 38 no nível 0, 02. (A tabela fornece 2, 38 para o teste bicaudal que é 0, 01 para o teste unicaudal).
O obtido t de 6, 12 é muito maior que 2, 38. Por isso a diferença é significativa. Parece certo que a classe fez progressos substanciais na leitura durante o ano letivo.
(ii) método de diferença:
Quando os grupos são pequenos, usamos o “método da diferença” para cálculos fáceis e rápidos.
Exemplo 8:
Dez sujeitos recebem 5 ensaios sucessivos com um teste de símbolo de dígitos, do qual apenas são mostrados os resultados dos ensaios 1 e 5. O ganho médio do primeiro para o julgamento final é significativo?
A coluna de diferença é encontrada a partir da diferença entre pares de pontuações. A diferença média é 4, e o DP em torno dessa média (SD D )
Calculando SE da diferença média:
Em que SE MD = erro padrão da diferença média
SD = desvio padrão em torno da diferença média.
O obtido t de 5, 26> 2, 82. O nosso t de 5, 26 é muito maior do que o nível de 0, 01 de 2, 82 e há pouca dúvida de que o ganho do Ensaio 1 para o Ensaio 5 é significativo.
(iii) O método de grupos equivalentes:
Correspondência por pares:
Às vezes podemos ser obrigados a comparar o desempenho médio de dois grupos equivalentes que são correspondidos por pares.
No método de grupos equivalentes, a correspondência é feita inicialmente por pares, de modo que cada pessoa no primeiro grupo tenha uma correspondência no segundo grupo.
Nesses casos, o número de pessoas em ambos os grupos é o mesmo, ou seja, n 1 = n 2 .
Aqui podemos calcular SE D usando a fórmula:
em que SE M1 e SE M2 = Erros padrão dos escores finais do Grupo I e Grupo II, respectivamente.
r 12 = Coeficiente de correlação entre os escores finais do grupo I e do grupo II.
Exemplo 9:
Dois grupos foram formados com base nas pontuações obtidas pelos alunos em um teste de inteligência. Um dos grupos (grupo experimental) recebeu alguma instrução adicional por um mês e o outro grupo (grupo controlado) não recebeu tal instrução.
Após um mês, ambos os grupos receberam o mesmo teste e os dados relativos às pontuações finais são apresentados abaixo:
Interpretação:
Entrando na tabela de t (Tabela D) com df 71 o valor crítico de t no nível de .05 no caso do teste unicaudal é de 1, 67. O obtido t de 2, 34> 1, 67. Portanto, a diferença é significativa no nível 0, 05.
. . . A média aumentou devido a instruções adicionais.
Com df de 71, o valor crítico de t no nível de 0, 01 no caso do teste unicaudal é de 2, 38. Assim obtido t de 2, 34 <2, 38. Portanto, a diferença não é significativa no nível 0, 01.
Erro padrão da diferença entre outras estatísticas:
(i) SE da diferença entre medianas não corrigidas:
A significância da diferença entre duas medianas obtidas de amostras independentes pode ser encontrada a partir da fórmula:
ii) SE da diferença entre desvios-padrão:
