Curva de probabilidade normal nas estatísticas

Depois de ler este artigo, você aprenderá sobre: ​​- 1. Computação da Curva de Probabilidade Normal 2. Características da Curva de Probabilidade Normal .

Cálculo da Curva de Probabilidade Normal:

Se uma moeda for lançada imparcial, ela cairá na cabeça (H) ou na cauda (T). Esta probabilidade de aparecer uma cabeça é uma chance em dois. Assim, a razão de probabilidade de H é ½ e T é ½.

Da mesma forma de nós lançamos duas moedas, moeda xe moeda y há quatro maneiras possíveis de cair.

Assim, os quatro caminhos possíveis são - ambos x e y podem cair H, x pode cair T e y H, x pode cair H e yT ou ambos podem cair T.

Expresso em proporções

Probabilidade de duas cabeças = ¼

Probabilidade de duas caudas = ¼

Probabilidade de um H e um T = ¼

Probabilidade de um T e um H = ¼

Assim, a relação é de ¼ + ½ + ¼ = 1, 00

A aparência esperada de cara e coroa de duas moedas pode ser expressa como:

(H + T) ² = H ² + 2HT + T ²

Se aumentarmos o número de moedas para três, ou seja, x, y e Z, pode haver oito arranjos possíveis.

A aparência esperada de cara e coroa de moedas pode ser expressa como:

Desta forma, podemos determinar a probabilidade de diferentes combinações de cara e coroa de qualquer número de moedas. Podemos obter probabilidade de qualquer número de moedas por expansão binomial. Uma expressão contendo dois termos é chamada de expressão binomial. O teorema binomial é uma fórmula algébrica que expande o poder de uma expressão binomial na forma de uma série.

A fórmula é assim:

(H + T) ⁿ = C (n, 0) Hn + C (n, 1) Hn ^- 1T + C (n, 2) H ^{( n-2)} T2….

… + C (n, r) H ^nr T ^r +…. + C (n, n) T ⁿ … (11, 1)

Onde C = combinações possíveis.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! significa 1 x 2 x 3 x… xn

n = Número total de observações ou pessoas.

r = Número de observações ou pessoas tomadas de cada vez.

Assim expansão binomial de

Se os dados acima são plotados em um gráfico como histograma e polígono de freqüência, será como abaixo (fig. 11.1)

Assim, a figura que obtivemos do lance de 10 moedas (H + T) ¹⁰ é um polígono de muitos lados simétrico.

E se continuarmos aumentando o número de moedas, com cada aumento o polígono exibiria uma linha de superfície perfeitamente lisa na figura 11.2 abaixo:

Esta curva em forma de sino é chamada de 'Curva de Probabilidade Normal'. Assim, o "gráfico da função de densidade de probabilidade da distribuição normal é uma curva contínua em forma de sino, simétrica em relação à média" é chamada de curva de probabilidade normal.

Nas estatísticas é importante porque:

(a) É a distribuição de muitas variáveis ​​que ocorrem naturalmente, como a inteligência dos alunos do 8º ano, a altura dos alunos do 10º ano, etc.

(b) A distribuição dos meios das amostras retiradas da maioria das populações progenitoras é normal ou aproximadamente quando as amostras são suficientemente grandes.

Por isso, a curva normal tem grande importância em ciências sociais e ciências comportamentais. Na mensuração comportamental, a maioria dos aspectos se aproxima da distribuição normal. Assim, a curva de probabilidade normal ou mais popularmente conhecida como NPC é usada como uma curva de referência. Para entender a utilidade do NPC, precisamos entender as propriedades do NPC.

Características da Curva de Probabilidade Normal:

Algumas das principais características da curva de probabilidade normal são as seguintes:

1. A curva é bilateralmente simétrica.

A curva é simétrica à sua ordenada do ponto central da curva. Isso significa que o tamanho, a forma e a inclinação da curva em um lado da curva são idênticos ao outro lado da curva. Se a curva for bissectada, o lado direito coincide completamente com o lado esquerdo.

2. A curva é assintótica:

A curva de probabilidade normal se aproxima do eixo horizontal e se estende de-∞ a + ∞. Significa que as extremidades extremas da curva tendem a tocar a linha de base, mas nunca a tocam.

Está representado na figura (11.3) abaixo:

3. A Média, Mediana e Modo:

A média, mediana e modo caem no ponto médio e são numericamente iguais.

4. Os pontos de inflexão ocorrem em ± 1 unidade de desvio padrão:

Os pontos de influxo em um NPC ocorrem em ± 1 a unidade acima e abaixo da média. Assim, nesse ponto, a curva muda de convexa para côncava em relação ao eixo horizontal.

5. A área total de NPC é dividida em ± desvio padrão:

O total de NPC é dividido em seis unidades de desvio padrão. Do centro, ele é dividido em unidades de desvio padrão de três ve + e três unidades de desvio padrão.

Assim, ± 3σ do NPC incluem diferentes números de casos separadamente. Entre ± 1σ encontram-se os 2/3 do segundo caso ou 68, 26%, entre ± 2σ e 95, 44% e entre ± 3σ e 99, 73% e além de + 3 apenas 0, 37%.

6. A ordenada Y representa a altura da curva de probabilidade normal:

A ordenada Y do NPC representa a altura da curva. No centro, a ordenada máxima ocorre. A altura da curva no ponto médio ou médio é denotada como Y ₀ .

Para determinar a altura da curva em qualquer ponto, usamos a seguinte fórmula:

7. É unimodal:

A curva está tendo apenas um ponto de pico. Porque a frequência máxima ocorre apenas em um ponto.

8. A altura da curva declina simetricamente:

A altura da curva diminui para a direção simétrica do ponto central. Significa que M + σ e M - σ são iguais se a distância da média for igual.

9. A média de NPC é µ e o desvio padrão é σ:

Como a média do NPC representa a média populacional então é representado pelo µ (Meu). O desvio padrão da curva é representado pela letra grega, σ.

10. Na curva de probabilidade normal, o desvio padrão é 50% maior que o Q:

Em NPC, o Q é geralmente chamado de erro provável ou PE.

A relação entre PE e a pode ser declarada da seguinte forma:

1 PE = .6745σ

1a = 1, 4826PE.

11. Q pode ser usado como uma unidade de medida para determinar a área dentro de uma determinada parte:

12. O Desvio Médio sobre a média de NPC é .798σ:

Existe uma relação constante entre desvio padrão e desvio médio em um NPC.

13. O modelo ordenado varia cada vez mais para o desvio padrão:

Em uma curva de probabilidade normal, a ordenada modal varia cada vez mais para o desvio padrão. O desvio padrão da Curva de Probabilidade Normal aumenta, a ordenada modal diminui e vice-versa.

Aplicações da Curva de Probabilidade Normal:

Algumas das aplicações mais importantes da curva de probabilidade normal são as seguintes:

Os princípios da curva de probabilidade normal são aplicados nas ciências comportamentais em muitas áreas diferentes.

1. O NPC é usado para determinar a porcentagem de casos em uma distribuição normal dentro dos limites especificados:

A curva de probabilidade normal nos ajuda a determinar:

Eu. Qual porcentagem de casos cai entre duas pontuações de uma distribuição.

ii. Qual porcentagem de pontuação está acima de uma pontuação específica de uma distribuição.

iii. Qual porcentagem de pontuação está abaixo de uma pontuação específica de uma distribuição.

Exemplo:

Dada uma distribuição de escores com uma média de 24 e σ de 8. Assumindo normalidade qual porcentagem dos casos ficará entre 16 e 32.

Solução:

Aqui, primeiro temos que converter os escores 16 e 32 em um escore padrão.

Entrando na Tabela-A, a área da tabela sob NPC, verifica-se que 34.13 casos caem entre média e - 1σ e 34.13 casos caem entre média e + 1σ. Então, σ cobre 68, 26% dos casos. Para que 68, 25% caiam entre 16 e 32.

Exemplo:

Dada uma distribuição de escores com média de 40 e σ de 8. Assumindo normalidade qual a porcentagem de casos que ficará acima e abaixo do escore 36.

Solução:

Primeiro de tudo, temos que converter a pontuação bruta 36 em pontuação padrão.

Entrando na Tabela-A, a área da tabela sob o NPC verifica-se que 19.15% dos casos estão entre Mean e -.5σ. Portanto, a porcentagem total de casos acima da pontuação 36 é 50 + 19, 15 = 69, 15% e abaixo da pontuação 36 é 50-19, 15 = 30, 85%. Portanto, na distribuição, 69, 15% dos casos estão acima da pontuação 36 e 30, 85% estão abaixo da pontuação 36.

2. O NPC é usado para determinar o valor de uma pontuação cuja classificação percentil é dada:

Usando a tabela NPC, podemos determinar a pontuação bruta do indivíduo, se a classificação do percentil for dada.

Exemplo:

Em uma distribuição de pontuações de um doss percentual de Pinky na estatística é de 65. A média da distribuição é de 55 com um desvio padrão de 10. Encontrar, mas a pontuação bruta de Pinky em Estatística.

Solução:

Como o percentil de Pinky é 65, então em uma distribuição normal, sua posição é 35% acima da média. Ao entrar na tabela 'A', descobrimos que 35% da média é + 1, 04 σ.

Colocando o valor na pontuação 'Z'.

3. O NPC é usado para encontrar os limites em uma distribuição normal que inclui uma determinada porcentagem de casos:

Quando uma distribuição é normalmente distribuída e o que sabemos sobre a distribuição é Média e o desvio padrão nesse momento, usando a área da tabela sob NPC, podemos determinar os limites que incluem uma determinada porcentagem de casos.

Exemplo:

Dada uma distribuição dos escores com média de 20 e σ de 5. Se assumirmos normalidade, quais limites incluirão o meio de 75% dos casos.

Solução:

Em uma distribuição normal, os casos de 75% do meio incluem 37, 5% dos casos acima da média e 37, 5% abaixo da média. A partir da Tabela-A, podemos dizer que 37, 5% dos casos cobrem 1, 15 σ unidades. Portanto, os casos médios de 75% situam-se entre as unidades de média e ± 1, 15 σ.

Portanto, neste meio de distribuição, os casos de 75% incluirão os limites de 14, 25 a 25, 75.

4. É usado para comparar duas distribuições em termos de sobreposição:

Se os escores de dois grupos em uma variável específica forem normalmente distribuídos. O que sabemos sobre o grupo é a média e o desvio padrão de ambos os grupos. E queremos saber o quanto o primeiro grupo ultrapassa o segundo grupo ou vice-versa nesse momento, podemos determinar isso usando a área da tabela sob NPC.

5. O NPC nos ajuda a dividir um grupo em subgrupos de acordo com determinada habilidade e a atribuir as notas:

Quando queremos dividir um grupo grande em certos subgrupos de acordo com alguma habilidade especificada naquele momento, usamos as unidades de desvio padrão de um NPC como unidades de escala.

Exemplo:

Um teste de aproveitamento foi administrado aos 600 alunos do 8º ano. O professor deseja atribuir esses alunos a 4 séries, A, B, C e D, de acordo com o desempenho deles no teste. Assumindo a normalidade da distribuição das pontuações, calcule o número de alunos que podem ser colocados em cada grupo.

Solução:

A área sob um NPC é dividida em ± 3 unidades ou 6 unidades.

Aqui temos que dividir os alunos em 4 seções.

Então cada seção tem

Então, se nós distribuirmos a seção por ordem de mérito.

A seção-A estará dentro de 1.5σ a 3σ

Seção B estará dentro de Média a 1.5σ

Seção C estará dentro de Média para -1.5σ

e a seção D estará em -1.5σ a - 3σ.

6. O NPC ajuda a determinar a dificuldade relativa dos itens ou problemas do teste:

Quando se sabe que porcentagem de alunos solucionou com sucesso um problema, podemos determinar o nível de dificuldade do item ou problema usando a área da tabela sob o NPC.

7. O NPC é útil para normalizar uma distribuição de frequência:

Para normalizar uma distribuição de frequência, usamos a curva de probabilidade normal. Para o processo de padronização de um teste psicológico, esse processo é muito necessário.

8. Para testar o significado das observações de experimentos, usamos o NPC:

Em um experimento, testamos a relação entre variáveis, sejam elas devido a flutuações de acaso ou erros no procedimento de amostragem, seja na relação real. Isso é feito com a ajuda da área da tabela sob o NPC.

9. O NPC é usado para generalizar sobre a população da amostra:

Calculamos o erro padrão de média, erro padrão de desvio padrão e outras estatísticas para generalizar sobre a população da qual a amostra é retirada. Para este cálculo usamos a área da tabela sob NPC.