Como encontrar os divisores de 2 a 19?
Como encontrar os divisores de 2 a 19? - Respondidas!
Tomamos agora a interessante questão de como se pode determinar se um determinado número, por maior que seja, é divisível por um determinado divisor. Não há regra geral definida para verificar a divisibilidade. Para divisores diferentes, as regras diferem em geral. Vamos discutir a regra para os divisores de 2 a 19.
Divisibilidade por 2:
Regra:
Qualquer número, cujo último dígito seja par ou zero, é divisível por 2.
Por exemplo: 12, 86, 130, 568926 e 5983450 são divisíveis por 2, mas 13, 133 e 596351 não são divisíveis por 2.
Divisibilidade por 3:
Regra:
Se a soma dos dígitos de um número é divisível por 3, o número também é divisível por 3.
Por exemplo:
1) 123: 1 + 2 + 3 = 6 é divisível por 3; daí 123 também é divisível por 3.
2) 5673: 5 + 6 + 7 + 3 = 21; portanto divisível por 3.
3) 89612: 8 + 9 + 6 + 1 + 2 = 26 = 2 + 6 = 8 não é divisível por 3. Portanto, o número não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4:
Regra:
Se os dois últimos dígitos de um número são divisíveis por 4, o número é divisível por 4. O número com dois ou mais zeros no final também é divisível por 4. Por exemplo:
1) 526428: 28 são divisíveis por 4. Portanto, o número é divisível por 4.
2) 5300: Existem dois zeros no final, por isso é divisível por 4.
3) 134000: Como há mais de dois zeros, o número é divisível por 4.
4) 134522: Como o último número de dois dígitos (22) não é divisível por 4, o número não é divisível por 4.
Nota:
A mesma regra é aplicável para verificar a divisibilidade por 25. Ou seja, um número é divisível por 25 se seus dois últimos dígitos forem zeros ou divisíveis por 25.
Divisibilidade por 5:
Regra:
Se um número terminar em 5 ou 0, o número será divisível por 5. Por exemplo:
1) 1345: Como seu último dígito é 5, ele é divisível por 5.
2) 1340: Como seu último dígito é 0, ele é divisível por 5.
3) 1343: Como seu último dígito não é nem 5 nem 0, ele não é divisível por 5.
Divisibilidade por 6:
Regra:
Se um número é divisível por ambos 3 e 2, o número também é divisível por 6. Então, para um número ser divisível por 6,
1) O número deve terminar com um dígito par ou 0 e
2) A soma de seus dígitos deve ser divisível por 3.
Por exemplo:
1) 63924: A primeira condição é preenchida como o último dígito (4) é um número par e também (6 + 3 + 9 + 2 + 4 =) 24 é divisível por 3; portanto, o número é divisível por 6.
2) 154: A primeira condição é cumprida, mas não a segunda; portanto, o número não é divisível por 6.
3) 261: A primeira condição não é cumprida; portanto, não precisamos verificar a segunda condição.
Casos especiais:
As regras para divisibilidade por 7, 13, 17, 19… são muito únicas e são encontradas muito raramente. Antes de seguirmos para a regra, devemos conhecer alguns termos como “um-mais” osculador e oscilador negativo.
“Um-mais” osculador significa que o número precisa de mais um para ser um múltiplo de 10. Por exemplo: o osculador para 19 precisa de 1 para se tornar 20 (= 2 x 10), assim o osculador para 19 é 2 (tirado de 2 × 10 = 20). Similarmente, o osculador para 49 é 5 (tirado de 5 × 10 = 50).
Osculador negativo significa que o número deve ser reduzido em um para ser um múltiplo de 10. Por exemplo:
Osculador negativo para 21 é 2 (tomado de 2 × 10 = 20).
Da mesma forma, o osculador negativo para 51 é 5 (tirado de 5 × 10 = 50).
Nota: (l) Qual é o osculador para 7?
Agora, nós olhamos para aquele múltiplo de 7 que é menos ou mais por 1 que um múltiplo de 10. Por exemplo 7 × 3 = 21, as21 é um mais que
2 x 10; nosso osculador negativo é 2 para 7.
E 7 X 7 = 49 ou 49 é um menos que 5 × 10; o nosso 'mais um' osculador é 5 para 7.
Da mesma forma, os osculadores para 13, 17 e 19 são:
Para 13: 13 X 3 = 39, “mais um” osculador é 4 (de 4 × 10)
Para 17: 17 X 3 = 51, o osculador negativo é 5 (de 5 × 10)
Para 19: 19 X 1. o osculador “um-mais” é 2 (de 2 × 10)
(2) Você pode definir os osmotores para 29, 39, 21, 31, 27 e 23.
(3) Você consegue um osculador para um número par ou um número que termine com '5'? (Não, mas por que?)
Divisibilidade por 7:
Primeiro, lembramos o osculador para 7. Mais uma vez, para sua conveniência, como 7 x 3 = 21 (um a mais que 2 x 10), nosso osculador negativo é 2. Este oscilador '2' é o nosso dígito-chave. Este e apenas este dígito é usado para verificar a divisibilidade de qualquer número por 7. Veja como funciona:
Nota:
1. Em todos os exemplos, cada um dos números obtidos após o sinal de igual (=) também é divisível por 7. Sempre que você encontrar um número que pareça divisível por 7, você pode parar por aí e concluir o resultado sem qualquer hesitação.
2. Os cálculos acima podem ser feitos em uma linha ou mentalmente. Tente fazer isso.
Divisibilidade por 8:
Regra:
Se os últimos três dígitos de um número forem divisíveis por 8, o número também será divisível por 8. Além disso, se os últimos três dígitos de um número forem zeros, o número será divisível por 8.
Exemplo. 1
1256: Como 256 são divisíveis por 8, o número também é divisível por 8.
Exemplo. 2
135923120: Como 120 é divisível por 8, o número também é divisível por 8.
Exemplo. 3
139287000: Como o número tem três zeros no final, o número é divisível por 8.
Nota:
A mesma regra é aplicável para verificar a divisibilidade por 125.
Divisibilidade por 9:
Regra:
Se a soma de todos os dígitos de um número é divisível por 9, o número também é divisível por 9.
Exemplo. 1
39681: 3 + 9 + 6 + 8 + 1 = 27 é divisível por 9, portanto o número também é divisível por 9.
Exemplo. 2
456138: 4 + 5 + 6 + 1 + 3 + 8 = 27 é divisível por 9, portanto o número também é divisível por 9.
Divisibilidade por 10:
Regra:
Qualquer número que termine com zero é divisível por 10. Não há necessidade de discutir essa regra.
Divisibilidade por 11:
Regra:
Se as somas de dígitos em lugares pares e ímpares forem iguais ou diferentes por um número divisível por 11, o número também será divisível por 11.
Exemplo 1
3245682: S 1 = 3 + 4 + 6 + 2 = 15 e S 2 = 2 + 5 + 8 = 15
Como S 1 = S2 2, o número é divisível por 11.
Exemplo 2
283712: S 1 = 2 + 3 + 1 = 6 e S 2 = 8 + 7 + 2 = 17.
Como S 1 e S 2 diferem por 11 (divisível por 11), o número também é divisível por 11.
Exemplo 3
84927291658: S 1 = 8 + 9 + 7 + 9 + 6 + 8 = 47 e S 2 = 4 + 2 + 2 + 1 + 5 = 14
Como (S 1 - S 2 =) 33 é divisível por 11, o número também é divisível por 11.
Divisibilidade por 12:
Regra:
Qualquer número que seja divisível por ambos 4 e 3, também é divisível por 12.
Para verificar a divisibilidade por 12, nós
1) Primeiro divida o último número de dois dígitos por 4. Se não for divisível por 4, o número não é divisível por 12. Se for divisível por 4, então
2) Verifique se o número é divisível por 3 ou não.
Exemplo. 1
135792: 92 é divisível por 4 e também (l + 3 + 5 + 7 + 9 + 2 =) 27 é divisível por 3; daí o número é divisível por 12.
Observação:
Lembre-se do método de cálculo da soma dos dígitos. O que você fez anteriormente (no primeiro capítulo)? "Esqueça nove". Faça o mesmo aqui. Por exemplo: soma dos dígitos de 135792___ 1 mais 3 mais 5 é 9, esqueça. 7 mais 2 é 9, esqueça. E finalmente não conseguimos nada. Isso significa que todo o “esqueça nove” adiciona um número que é múltiplo de 9. Assim, o número é divisível por 9.
Divisibilidade por 13:
O astuador para 13 é 4 (veja nota). Mas desta vez, o nosso osculador não é negativo (como no caso de 7). É o 'mais um' osculador. Então, o princípio de funcionamento será diferente agora. Isso pode ser visto nos exemplos a seguir.
Exemplo I: 143 é divisível por 13?
Como 26 é divisível por 13, o número também é divisível por 13.
Nota:
O trabalho do segundo método também é muito sistemático. Ao mesmo tempo, é mais aceitável porque tem menos trabalho de escrita.
Exemplo 2:
Verifique a divisibilidade de 24167 por 13.
Como 26 é divisível por 13, o número também é divisível por 13
Observação:
Você entendeu o princípio de funcionamento? Se sua resposta for não, sugerimos que você passe por cada etapa com cuidado. Este é um cálculo muito simples e sistemático.
Exemplo 3:
Verifique a divisibilidade de 6944808 por 13.
4 × 2 + 1 + 9 = 18
4 × 8 + 1 + 6 = 39
Como 39 é divisível por 13, o número dado é divisível por 13.
Nota:
(1) Este método é aplicável apenas para os osculadores “um-mais”. Portanto, não podemos usar este método no caso de 7.
(2) Este é um método de uma linha e você não precisa escrever os cálculos durante os exames. Estas são dadas apenas para fazer você entender bem.
Divisibilidade por 14:
Qualquer número que seja divisível por 2 e 7, também divisível por 14. Ou seja, o último dígito do número deve ser par e ao mesmo tempo o número deve ser divisível por 7.
Divisibilidade por 15:
Qualquer número que seja divisível por ambos 3 e 5 também é divisível por 15.
Divisibilidade por 16:
Qualquer número cujo último número de 4 dígitos é divisível por 16 também é divisível por 16.
Divisibilidade por 17:
Osculador negativo para 17 é 5 (veja nota). O trabalho para isto é o mesmo que no caso de 7. Exemplo 1: Verifique a divisibilidade de 1904 por 17.
Como 170 é divisível por 17, o número dado também é divisível por 17.
Nota:
Os alunos são sugeridos a não ir até o último cálculo. Sempre que você encontrar o número divisível pelo número fornecido no lado direito do cálculo, pare os cálculos e conclua o resultado.
Como 51 é divisível por 17, o número dado também é divisível por 17.
Divisibilidade por 18:
Regra:
Qualquer número que seja divisível por 9 e tenha seu último dígito (dígito unitário) par ou zero, é divisível por 18.
Exemplo. 1:
926568: A soma do dígito é um múltiplo de nove (ou seja, divisível por 9) e o dígito da unidade (8) é par, portanto, o número é divisível por 18.
Exemplo. 2:
273690: A soma de dígitos é um múltiplo de nove e o número termina em zero, portanto, o número é divisível por 18.
Nota:
Durante o cálculo da soma dos dígitos, siga o método de "esquecer nove". Se você obtiver zero no final do cálculo, significa que a soma dos dígitos é divisível por 9.
Divisibilidade por 19:
Se você se lembra, o osculador 'one-more' para 19 é 2. O método é semelhante ao de 13, que é bem conhecido por você. Vamos dar um exemplo.
Assim, nosso número é divisível por 19.
Nota:
Você deve ter entendido o princípio de funcionamento (veja o caso de 13).