Tendência Central: Significado, Usos e Medidas

Tendência Central: Significado, Usos e Medidas!

Significado da Tendência Central:

Medidas de tendência central são uma combinação de duas palavras, ou seja, "medida" e "tendência central". Meios significa métodos e tendência central significa valor médio de qualquer série estatística. Assim, podemos dizer que a tendência central significa os métodos de descobrir o valor central ou o valor médio de uma série estatística de informação quantitativa.

JP Guilford assinalou que “uma média é um valor central de um grupo de observações ou indivíduos”.

Segundo Clark, “a média é uma tentativa de encontrar uma única figura para descrever toda a figura”.

Nas palavras de AE ​​Waugh “Uma média é um único valor selecionado de um grupo de valores para representá-los da mesma forma - um valor que deve representar todo o grupo do qual faz parte, como típico de todos os valores no grupo."

Assim, pode-se dizer que uma tendência média ou central é uma figura única que é calculada a partir de uma determinada distribuição para dar uma ideia central sobre a série inteira. O valor da média está dentro do valor máximo e mínimo da série.

Usos da Tendência Central:

A tendência central é necessária pelas seguintes razões:

1. Média fornece a visão geral da série. Não podemos nos lembrar de todos os fatos relacionados a um campo de investigação.

2. O valor médio fornece uma imagem clara sobre o campo em estudo para orientação e conclusão necessária.

3. Ele fornece uma descrição concisa do desempenho do grupo como um todo e nos permite comparar dois ou mais grupos em termos de desempenho típico.

Medidas de tendência central:

Existem três medidas de tendência central, como:

(1) A média aritmética.

(2) A mediana e

(3) o modo.

(1) A média (M):

Para um homem comum, média significa a média aritmética. É mais popularmente usado por causa de sua simplicidade, rigidez etc.

Uma média aritmética é definida como o “quociente obtido pela divisão do total dos valores de uma variável pelo número total de observações ou itens”.

II.E. Garett (1985 P) define “A média aritmética ou mais simplesmente a média é a soma das pontuações separadas ou medidas divididas pelo seu número.”

Métodos de cálculo da média:

Existem vários métodos para calcular a média. Mas aqui vamos discutir apenas dois métodos.

Eles são os seguintes:

1. Método direto ou método longo.

2. Método curto ou método da média presumida.

1. Método direto ou método longo:

Neste método, a média é calculada diretamente a partir da série dada. Neste método, podemos calcular a média a partir dos dados desagrupados e a fórmula para calcular a média a partir de dados não agrupados.

A fórmula para calcular a média de dados não agrupados é:

A partir dos dados agrupados, a média é calculada pela seguinte fórmula:

Ilustração:

Calcule a média das seguintes distribuições de freqüência pelo método direto:

2. Método Curto ou Método Médio Assumido:

É conhecido como método de média presumida porque, em vez de calcular a média a partir dos pontos médios, assumimos a média para descobrir a média. Primeiro, "adivinhamos" ou assumimos uma média e aplicamos uma correção a esse valor assumido para encontrar o valor exato.

A fórmula para descobrir a média no método da média assumida é dada abaixo:

Abaixo são discutidos os passos para calcular a média no método curto:

Passo 1:

Assuma qualquer ponto médio da distribuição como média. Mas o melhor plano é tomar o ponto médio de um intervalo perto do centro que tem a maior frequência.

Passo 2:

Descubra a coluna x ', x' é o desvio entre a pontuação e a média assumida.

Aqui podemos descobrir x 'usando a seguinte fórmula:

Etapa 3:

Descubra a coluna fx . É encontrado multiplicando coluna f por x 'coluna.

Passo 4:

Descubra ∑ f x. Adicione todos os valores positivos e valores negativos separadamente. Então descubra a soma algébrica que é f x.

Passo 5:

Descubra a média usando a fórmula 9.4.

Ilustração:

Descubra a média da distribuição no método de média assumida.

Em um teste de matemática, as notas dos 50 alunos foram apresentadas na seguinte distribuição:

Aqui tomamos 44, 5 o ponto médio de Ci 40-49 como assumido como médio. Agora podemos descobrir a média usando a fórmula - 8.4.

Média combinada:

As médias separadas de um número de séries diferentes podem produzir a média aritmética combinada de todas as séries diferentes quando o número de itens em cada uma dessas séries é dado. Isso é calculado pela seguinte fórmula quando o número de grupos é n.

Ilustração:

Abaixo é dada a média de alunos da turma VI de 4 escolas. Qual é a média dos alunos da classe VI em geral?

Podemos descobrir a média combinada aplicando a fórmula 9.5:

Então, a média de todos os alunos da classe VI é de 55, 25.

Usos da média:

Existem certas regras gerais para usar a média. Alguns desses usos são os seguintes:

1. Média é o centro de gravidade na distribuição e cada pontuação contribui para a sua determinação quando a distribuição das pontuações é simétrica em torno de um ponto central.

2. A média é mais estável que a mediana e o modo. De modo que quando a medida de tendência central que tem a maior estabilidade é desejada, a média é usada.

3. Média é usada para calcular outras estatísticas como SD, coeficiente de correlação, ANOVA, ANCOVA etc.

Méritos da Média:

1. A média é rigidamente definida, de modo que não há dúvida de que há um mal-entendido sobre seu significado e natureza.

2. É a tendência central mais popular, pois é fácil de entender.

3. É fácil calcular.

4. Inclui todas as pontuações de uma distribuição.

5. Não é afetado por amostragem para que o resultado seja confiável.

6. A média é capaz de tratamento algébrico adicional, de modo que outras estatísticas diferentes, como dispersão, correlação, inclinação, exigem média para o cálculo.

Deméritos da média:

1. Média é afetada por pontuações extremas.

2. Às vezes, significa é um valor que não está presente na série.

3. Às vezes dá valores absurdos. Por exemplo, existem 41, 44 e 42 alunos nas classes VIII, IX e X de uma escola. Portanto, a média de alunos por turma é de 42, 33. Isso nunca é possível.

4. No caso de intervalos de classe em aberto, ele não pode ser calculado sem assumir o tamanho das classes de fim aberto.

(2) mediana:

A mediana é outra medida de tendência central. É uma média posicional porque seu valor é determinado com referência a sua posição na coluna de valores de uma série. No Dicionário Collins de Estatística, é definido como “o valor médio em uma distribuição, abaixo e acima do qual se encontram valores com frequências totais iguais ou probabilidades”.

D. Patri (1996) define mediana “como o valor do item do meio de uma série disposta em ordem crescente ou decrescente. Como tal, divide uma série em duas partes iguais. ”

A mediana pode ser definida como um ponto na distribuição abaixo do qual cinquenta por cento dos casos e acima do qual cinquenta por cento dos casos se encontram.

Cálculo da mediana de dados não agrupados:

No caso de dados desagrupados, as pontuações são organizadas em ordem de tamanho. Então o ponto médio é descoberto, que é a mediana. Neste processo duas situações surgem no cálculo da mediana, (a) N é ímpar (b) N é mesmo Primeiro, discutiremos como calcular a mediana (Mdn) quando N é ímpar.

Ilustração:

Em uma turma 9, os alunos garantiram as seguintes notas em um teste de vocabulário. Descubra a mediana.

Marcas - 6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9

Em dados desagrupados

Vamos discutir como calcular Mdn quando N é par.

Ilustração:

Calcule o Mdn dos seguintes dados de 10 estudantes de um teste de ortografia em inglês.

Marcas = 7, 6, 8, 12, 7. 9, 11, 10, 13, 14

Para resolver o problema, temos que organizar em ordem de tamanho

6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

Agora, aplicando a fórmula 8.6, obtemos;

Cálculo da mediana de dados agrupados:

Sabemos que a mediana é um ponto que distribui a distribuição em duas metades iguais.

A fórmula para descobrir a mediana de dados agrupados é a seguinte:

Onde L = limite inferior da classe mediana.

Classe mediana é aquela classe cuja freqüência cumulativa é maior que o valor de N / 2, isto é, N / 2> cf (freqüência cumulativa)

N / 2 = metade do número total de pontuações.

F = Frequência acumulada da classe interna abaixo da classe mediana.

fm = Frequência da classe mediana.

i = tamanho dos internos da classe.

Etapas para calcular mdn de dados agrupados:

Passo 1.

Calcule N / 2, ou seja, 50% da distribuição.

Passo 2:

Calcule a frequência cumulativa da distribuição a partir da extremidade inferior.

Etapa 3:

Descubra a classe mdn. A frequência cumulativa do intervalo de classes em que N / 2> cf

Passo 4:

Descubra F a frequência cumulativa abaixo da classe mdn.

Passo 5:

Descubra f m . e coloque todos os valores na fórmula.

Ilustração:

Descubra a mediana da distribuição.

Abaixo são dadas as pontuações de 40 alunos em um teste de matemática:

L = 59, 5. Porque o N / 2, ou seja, 20 é incluído na freqüência cumulativa do intervalo de classes 60-61, e os limites exatos do Ci = 59, 5-61, 5.

F = 17. A frequência cumulativa abaixo da classe mdn.

fm = 7. A frequência exata da classe mdn.

i = 2. Tamanho do intervalo da classe.

Agora colocando o valor na fórmula

Mdn da distribuição é 60, 63.

Mdn também pode ser calculado a partir do limite superior da distribuição. A fórmula para descobrir mdn tomando limites superiores é a seguinte.

Onde U = O limite superior da classe Mdn.

F 1 = A freqüência cumulativa do intervalo de classe acima da classe Mdn.

fm = Frequência da classe mediana.

i = tamanho do intervalo de classe.

Passos:

No caso de calcular Mdn a partir do limite superior, a única diferença é que temos que calcular a frequência acumulada a partir do extremo superior.

Ilustração:

U = 61, 5. Porque a frequência cumulativa 23 inclui o N / 2, ou seja, 20.

F = 16. Freqüência acumulada do intervalo de classe acima da classe Mdn.

fm = 7 frequência da classe mediana.

i = 2

A Mdn é 60, 36.

Existem também alguns casos excepcionais de computação mediana. Estes são quando a distribuição de freqüência contém lacunas e quando os intervalos de classe são abertos. Antes de mais nada, discutiremos quando houver lacunas na distribuição de frequência.

Quando há freqüências 0 consecutivas nos intervalos de classe onde Mdn está, surge a dificuldade de descobrir a classe Mdn. Neste caso, adicionamos os intervalos de freqüência 0 aos intervalos de classe acima e abaixo.

A ilustração a seguir explica claramente o processo:

Ilustração:

Descubra a Mdn das seguintes séries:

L = 49, 5. O limite inferior do Ci, onde o Ci é maior que N / 2.

F = 4 Cf do Ci abaixo da classe Mdn

f m = 2. A frequência da classe Mdn.

i = 10. Tamanho do Ci

Colocando os valores na fórmula 8.7.

Então a Mdn da distribuição é 57.

A segunda situação é que, quando há intervalos de classe em aberto nas duas extremidades. Neste caso, as extremidades abertas podem ser mantidas abertas ou podem ser convertidas em classes específicas. Uma ilustração é dada abaixo.

Ilustração:

30 alunos garantiram as seguintes notas em um teste de matemática. 4 alunos garantiram menos de 10 valores. 6 alunos obtiveram notas entre 10 e 20, 10 alunos entre 20 e 30, 8 alunos entre 30 e 40, 7 alunos entre 40 e 50 e 3 alunos com mais de 50. Descubra a Mdn.

L = 19, 5. Limite inferior da classe Mdn, ou seja, 20—30.

F = 10. Cf do Ci abaixo da classe Mdn.

fm = 10

i = 10

Então Mdn da distribuição é 28, 5.

Usos da Mediana:

1. A mediana é usada quando o ponto médio exato da distribuição é necessário ou o ponto de 50% é desejado.

2. Quando pontuações extremas afetam a média, a mediana é a melhor medida de tendência central.

3. A mediana é usada quando é necessário que certas pontuações afetem a tendência central, mas tudo o que se sabe sobre elas é que elas estão acima ou abaixo da mediana.

4. A mediana é usada quando as classes são abertas ou não têm tamanho de célula igual.

Méritos da Mediana:

1. É fácil calcular e entender.

2. Todas as observações não são necessárias para o seu cálculo.

3. Pontuações extremas não afetam a mediana.

4. Pode ser determinado a partir de séries abertas.

5. Pode ser determinado a partir de intervalos de classe não iguais.

Deméritos de Mediana:

1. Não é rigidamente definido como média porque seu valor não pode ser calculado, mas localizado.

2. Não inclui todas as observações.

3. Não pode mais ser tratada algebricamente como média.

4. Requer arranjo das pontuações ou intervalos de classe em ordem crescente ou decrescente.

5. Às vezes, produz um valor que não é encontrado na série.

(3) modo:

Modo é a pontuação mais frequente em uma distribuição. Em média, representa o valor mais típico de uma série que quase coincide com os itens existentes. Nunca é afetado por pontuações extremas, mas pelas freqüências extremas dos valores. Para determinar o modo, existem diferentes métodos.

Alguns dos métodos importantes são discutidos abaixo:

Métodos para determinar o modo:

1. Método de Inspeção

2. Método de Agrupamento

3. Método de Relação Empírica

1. Método de Inspeção:

Neste método, o modo é determinado apenas pela observação. Aqui o modo é determinado observando a pontuação que ocorre com mais frequência ou o intervalo de classe em relação ao qual a frequência máxima é considerada como a classe modal. Quando dois desses valores ou intervalos de classes têm a mesma ocorrência ou frequência, tanto as pontuações quanto os intervalos das classes são tomados como modo. E a distribuição é chamada como uma distribuição bi-modal. Se mais de dois desses valores ou intervalos de classes estiverem lá, então é aliado como uma distribuição multimodal.

2. Método de Agrupamento:

Quando a diferença de valor entre a freqüência mais alta e a próxima freqüência mais alta é muito baixa, não é seguro determinar o modo no método de inspeção. Em tais casos duvidosos foram utilizados método de agrupamento.

Neste método, primeiro é preparada uma tabela de agrupamento ou uma declaração de agrupamento de frequências. Nesta declaração, coloque os valores ou classes de valores na coluna da esquerda e suas freqüências correspondentes na próxima coluna. Na próxima coluna (2) agrupe as freqüências em pares a partir da primeira freqüência. Então na terceira coluna agrupe as freqüências em pares a partir da segunda freqüência. Na coluna seguinte, agrupe as freqüências em três começando da primeira freqüência.

Na coluna seguinte, agrupe as frequências em três a partir da segunda frequência. Na última coluna agrupe as frequências em três começando a partir da 3ª frequência. Quando o agrupamento terminar, identifique a (s) figura (s) máxima (s) de cada uma das 6 colunas, colocando um círculo.

O próximo passo é preparar uma tabela de análise para localizar o valor modal ou classe modal. Nesta tabela, os valores modais prováveis ​​são apresentados na linha horizontal superior sob as diferentes colunas e os números das colunas diferentes serão colocados à esquerda da tabela.

Os valores que mostram as frequências agrupadas máximas na tabela de agrupamento serão identificados por uma marca em relação à respectiva coluna. O número de tais marcas colocadas sob as colunas de valor provável será totalizado na parte inferior desta tabela. O valor provável mostrando o máximo de tal total será identificado como o valor modal da classe modal conforme o caso.

A ilustração a seguir fornecerá um melhor entendimento:

Ilustração:

A tabela de análise acima mostra que, em torno da pontuação 60, os clusters máximos, ou seja, o total 4. Então, aqui, 60 é o valor modal.

Quando os dados estão na série contínua, podemos calcular o modo aplicando a seguinte fórmula:

Onde M 0 = Modo

L 0 = limite inferior da classe modal

f 2 = frequência da classe modal sucessora da classe.

f 0 = frequência da classe que precede a classe modal.

i = tamanho do intervalo de classe.

Ilustração:

Dos dados a seguir, determine o modo:

Solução:

Aqui intervalo de classe 20-25 contém a frequência mais alta. Para que possa ser considerado como a classe modal

Aqui:

3. Método de Relação Empírica:

Este é o método mais eficaz de determinar o modo. O professor Karl Pearson previu este método. O professor Pearson descobriu que, em uma série moderadamente assimétrica ou distorcida, existe uma relação pertinente entre a média, a mediana e o modo. Em tais séries, a distância entre a média e a mediana é 1/3 da distância entre a média e o modo.

Ilustração:

Descubra o modo da distribuição dada acima.

Solução:

A média da distribuição é de 25, 94

A mediana da distribuição é 23, 83

M 0 = 3 Mediana - 2 significa

M 0 = 3 X 23, 83—2 x 25, 94

= 71, 49 a 51, 88

= 19, 61 (aprox.)

Usos do Modo:

O modo é usado:

(i) Quando queremos uma medida rápida e aproximada da tendência central.

(ii) Quando queremos uma medida de tendência central que deveria ser um valor típico. Por exemplo, quando queremos conhecer o estilo de vestir típico das mulheres indianas, ou seja, o estilo de vestir mais popular. Assim as marcas médias de uma classe são chamadas de marcas modais.

Méritos do Modo:

1. Modo fornece o valor mais representativo de uma série.

2. O modo não é afetado por nenhuma pontuação extrema, como média.

3. Pode ser determinado a partir de um intervalo de classe em aberto.

4. Ajuda na análise de dados qualitativos.

5. O modo também pode ser determinado graficamente através do histograma ou do polígono de frequência.

6. O modo é fácil de entender.

Deméritos:

1. Modo não é definido rigidamente como média. Em certos casos, pode sair com resultados diferentes.

2. Não inclui todas as observações de uma distribuição, mas sim a concentração de frequências dos itens.

3. O tratamento algébrico adicional não pode ser feito com o modo como média.

4. Em casos multimodais e bimodais, é difícil determinar.

5. O modo não pode ser determinado a partir de intervalos de classe desiguais.

6. Existem diferentes métodos e fórmulas diferentes que produzem diferentes resultados de modo e por isso é justamente assinalado como a média mais mal definida.